(12分)已知椭圆C:(a>b>0)的一个顶点为A(2,0),离心率为,直线y=k(x-1)与椭圆C交于不同的两点M、N.
①求椭圆C的方程.
②当⊿AMN的面积为时,求k的值.
① .②k=±1.
解析试题分析:(Ⅰ)根据椭圆一个顶点为A (2,0),离心率为 ,可建立方程组,从而可求椭圆C的方程;
(Ⅱ)直线y=k(x-1)与椭圆C联立 y=k(x-1)与,消元可得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-4=0,从而可求|MN|,A(2,0)到直线y=k(x-1)的距离,利用△AMN的面积,可求k的值.
解:① 由题意得 a=2
=,
,
解得b=.所以椭圆C的方程为.
由② y=k(x-1), 得
设点M、N的坐标分别为则
所以
又因为点A(2,0)到直线y=k(x-1)的距离d=
所以⊿AMN的面积为s=∣MN∣.d==,
解得k=±1.
考点:本试题主要考查了椭圆的标准方程,考查直线与椭圆的位置关系,考查三角形面积的计算。
点评:解决该试题的关键是正确求出|MN|,通过设直线与圆锥曲线联立方程组得到韦达定理表示得到线段的长度。
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(12分)已知抛物线的焦点为,准线为,过上一点P作抛物线的两切线,切点分别为A、B,
(1)求证:;
(2)求证:A、F、B三点共线;
(3)求的值.
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设椭圆的左、右顶点分别为、,点在椭圆上且异于、两点,为坐标原点.
(1)若直线与的斜率之积为,求椭圆的离心率;
(2)对于由(1)得到的椭圆,过点的直线交轴于点,交轴于点,若,求直线的斜率.
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已知为双曲线的左、右焦点.
(Ⅰ)若点为双曲线与圆的一个交点,且满足,求此双曲线的离心率;
(Ⅱ)设双曲线的渐近线方程为,到渐近线的距离是,过的直线交双曲线于A,B两点,且以AB为直径的圆与轴相切,求线段AB的长.
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(本小题满分14分) 如图,已知抛物线与坐标轴分别交于A、B、C三点,过坐标原点O的直线与抛物线交于M、N两点.分别过点C、D作平行于轴的直线、.(1)求抛物线对应的二次函数的解析式;
(2)求证以ON为直径的圆与直线相切;
(3)求线段MN的长(用表示),并证明M、N两
点到直线的距离之和等于线段MN的长.
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