Question

【题目】已知数列和满足：,其中为实数，为正整数．

（1）对任意实数，证明数列不是等比数列；

（2）对于给定的实数，试求数列的前项和；

（3）设，是否存在实数，使得对任意正整数，都有成立？若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2) 当, ；当时,；

(3) 当时,得,不存在实数满足要求；

当时,存在实数,其取值范围是

【解析】

(1)代入求证明矛盾即可.
(2) 由,代入可得再分情况与的情况进行讨论即可.

(3)由第(2)问求得的,代入再参变分离求解即可.

(1)假设存在一个实数,使是等比数列,,

由,分别令有,

.又

即,矛盾,

所以不是等比数列.

(2)因为

,又,

所以当,,此时.

当时,,,

此时,数列是以为首项,为公比的等比数列.

(3)要使对任意正整数成立，

则，∴

得.

令,则当为正奇数时,；当为正偶数时,,

的最大值为,的最小值为.

故,即

当时,得,不存在实数满足要求；

当时,存在实数,使得对任意正整数,都有成立,且的取值范围是