Question

5．已知函数f（x）=|x-3|
（Ⅰ）若不等式f（x-1）+f（x）＜a的解集为空集，求a的范围；
（Ⅱ）若|a|＜1，|b|＜3，且a≠0，求证：f（ab）＞|a|f（$\frac{b}{a}$）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意可得|x-4|+|x-3|＜a的解集为空集，而|x-4|+|x-3|≥1，由此可得a的范围．
（Ⅱ）要证的不等式等价于 （ab-3）²＞（b-3a）²，再根据（ab-3）²-（b-3a）²=（a²-1）（b²-9）＞0，从而证得f（ab）＞|a|f（$\frac{b}{a}$）成立．

解答 解：（Ⅰ）函数f（x）=|x-3|，不等式f（x-1）+f（x）＜a，即|x-4|+|x-3|＜a．
再根据f（x-1）+f（x）＜a的解集为空集，可得|x-4|+|x-3|＜a的解集为空集．
而|x-4|+|x-3|≥|（x-4）-（x-3）|=1，∴a≤1．
（Ⅱ）∵|a|＜1，|b|＜3，且a≠0，
∴f（ab）＞|a|f（$\frac{b}{a}$），等价于|ab-3|＞|a|•|$\frac{b}{a}$-3|，等价于|ab-3|-|b-3a|，
等价于（ab-3）²＞（b-3a）²．
再根据（ab-3）²-（b-3a）²=a²b²-9a²-b²+9=（a²-1）（b²-9）＞0，
可得f（ab）＞|a|f（$\frac{b}{a}$）成立．

点评 本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了等价转化的数学思想，属于中档题．