Question

14．已知a∈R，函数f₁（x）=x²，f₂（x）=aln（x+2）．
（Ⅰ）令f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{f}_{1}（x），x≤0}\\{{f}_{2}（x），x＞0}\end{array}\right.$，若函数f（x）的图象上存在两点A、B满足OA⊥OB（O为坐标原点），且线段AB的中点在y轴上．求实数a的取值范围；
（Ⅱ）若函数g（x）=f₁（x）+f₂（x）存在两个极值点x₁、x₂，求证：g（x₁）+g（x₂）＞2．

Answer 1

分析 （Ⅰ）不妨设A（t，aln（t+2）），B（-t，t²），利用OA⊥OB，再分离参数，即可求a的取值集合；
（Ⅱ）函数g（x）=f₁（x）+f₂（x）存在两个极值点x₁、x₂，g′（x）=0，即2x²+4x+a=0在（-2，+∞）上存在两个不等的实根，可得0＜a＜2，x₁+x₂=-2，x₁x₂=$\frac{a}{2}$，表示出g（x₁）+g（x₂），确定其单调性，即可证明g（x₁）+g（x₂）＞2．

解答 解：（Ⅰ）由题意，不妨设A（t，aln（t+2）），B（-t，t²）（t＞0）
∴OA⊥OB，
∴-t²+at²ln（t+2）=0，
∴a=$\frac{1}{ln（t+2）}$，
∵ln（t+2）∈（ln2，+∞），
∴a的取值集合为（0，$\frac{1}{ln2}$）；
（Ⅱ）g（x）=f₁（x）+f₂（x）=x²+aln（x+2），
∴g′（x）=$\frac{{2x}^{2}+4x+a}{x+2}$，
∵函数g（x）存在两个极值点x₁、x₂，
∴g′（x）=0，即2x²+4x+a=0在（-2，+∞）上存在两个不等的实根，
令p（x）=2x²+4x+a，
∴△=16-8a＞0且p（-2）＞0，
∴0＜a＜2，
∵x₁+x₂=-2，x₁x₂=$\frac{a}{2}$，
∴g（x₁）+g（x₂）=x₁²+aln（x₁+2）+x₂²+aln（x₂+2）
=（x₁+x₂）²-2x₁x₂+aln[x₁x₂+2（x₁+x₂）+4]=aln$\frac{a}{2}$-a+4
令q（x）=xln$\frac{x}{2}$-x+4，x∈（0，2），
∴q′（x）=ln$\frac{x}{2}$＜0，
∴q（x）在（0，2）上单调递减，
∴2＜aln$\frac{a}{2}$-a+4，
∴g（x₁）+g（x₂）＞2．

点评 本题考查导数知识的运用，考查韦达定理，考查函数的单调性与极值，考查学生的计算能力，属于中档题．