Question

8．已知圆C：x²+（y-3）²=4，过点A（-1，0）的直线l与圆C相交于P、Q两点，若|PQ|=2$\sqrt{3}$，则直线l的方程为x=-1或4x-3y+4=0．

Answer 1

分析 由题意画出图象，由弦长公式求出圆心到直线l的距离，对直线l的斜率分类讨论，根据点到直线的距离公式求出直线的斜率，即可求出直线l的方程．

解答 解：由题意画出图象，如图所示：
过圆心C作CM⊥PQ，则|MP|=|MQ|=$\frac{1}{2}$|PQ|=$\sqrt{3}$，
由圆C的方程得到圆心C坐标（0，3），半径r=2，
在Rt△CPM中，根据勾股定理得：CM=1，
即圆心到直线的距离为1，
①当直线l的斜率不存在时，显然直线x=-1满足题意；
②当直线l的斜率存在时，设直线l的斜率为k，
又过A（-1，0），则直线l的方程为y=k（x+1），
即kx-y+k=0，
∴圆心到直线l的距离d=$\frac{|-3+k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=1，解得k=$\frac{4}{3}$，
∴直线l的方程为4x-3y+4=0，
综上，满足题意的直线l为x=-1或4x-3y+4=0．
故答案为：x=-1或4x-3y+4=0．

点评 本题考查直线与圆相交所截的弦长问题，以及直线方程，考查分类讨论思想，属于中档题．