Question

已知函数f（x）=

1- 1 x ，x＜0 x2，x≥0

（1）若f（x）=3，求x的值；
（2）求f（x+1）的解析式；
（3）解不等式f（x+1）＞4．

Answer 1

考点：分段函数的应用,函数解析式的求解及常用方法

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（1）由分段函数表达式，分别写出x＜0时，x≥0时的方程，解出即可；
（2）讨论x+1＜0时，当x+1≥0时的函数f（x+1）的表达式，即可得到；
（3）由（2）的表达式，f（x+1）＞4即为

x+1＜0 x x+1 ＞4

或

x+1≥0 (x+1)2＞4

，解出它们，最后求并集即可．

解答： 解：（1）∵x＜0时，f(x)=1-

1

x

=3，
∴x=-

1

2

；
x≥0时，f（x）=x²=3，
∴x=

3

∴x=-

1

2

或

3

；
（2）当x+1＜0时，即x＜-1，f（x+1）=1-

1

x+1

=

x

x+1

，
当x+1≥0时，即x≥-1，f（x+1）=（x+1）²．
综上：f(x+1)=

x x+1 ，x＜-1 (x+1)2，x≥-1

；
（3）由（2）的表达式，f（x+1）＞4即为

x+1＜0 x x+1 ＞4

或

x+1≥0 (x+1)2＞4

即有

x＜-1 - 4 3 ＜x＜-1

或

x≥-1 x＞1或x＜-3

，
解得-

4

3

＜x＜-1或x＞1．
则解集为（-

4

3

，-1）∪（1，+∞）．

点评：本题考查分段函数及运用，考查函数的解析式和不等式的解法，注意讨论分段函数各段的范围，最后求并集，考查运算求解能力，属于中档题．