Question

对于函数f（x）与g（x）和区间D，如果存在唯一x₀∈D，使|f（x₀）-g（x₀）|≤2，则称函数f（x）与g（x）在区间D上的“友好函数”．现给出两个函数：
①f（x）=x²，g（x）=2x-4；     
②f（x）=2

x

，g（x）=x+3；
③f（x）=e^-x，g（x）=-

1

x

；   
④f（x）=lnx，g（x）=x+1，
则函数f（x）与g（x）在区间（0，+∞）上为“友好函数”的是

 

．（填正确的序号）

Answer 1

考点：函数的值

专题：函数的性质及应用

分析：对照新定义，利用配方法、导数法可确定函数的值域，由此，就可以得出结论．

解答： 解：对于①，f（x）-g（x）=x²-2x+4=（x-1）²+3≥3，
∴不存在x₀∈（0，+∞），使|f（x₀）-g（x₀）|≤2，∴①不是“友好函数”；
对于②，g（x）-f（x）=x-2

x

+3=（

x

-1）²+2≥2，
当且仅当x=1时，|g（x）-f（x）|≤2．∴②是“友好函数”；
对于③，h（x）=f（x）-g（x）=e^-x+

1

x

，
h′（x）=-e^-x-

1

x2

＜0，
∴函数h（x）在（0，+∞）上单调减，
∴x→0，h（x）→+∞，x→+∞，h（x）→0，
使|f（x₀）-g（x₀）|≤2的x₀不唯一，∴③不是“友好函数”；
对于④，h（x）=g（x）-f（x）=x-lnx+1（x＞0），
h′（x）=1-

1

x

，
令h′（x）＞0，可得x＞1，令h′（x）＜0，可得0＜x＜1，
∴x=1时，函数取得极小值，且为最小值，最小值为h（1）=2，
∴g（x）-f（x）≥2，
使|f（x₀）-g（x₀）|≤2的x₀唯一，∴④是“友好函数”．
故答案为：②④．

点评：本题考查“友好函数”的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．