Question

已知函数f（x）=x+

a

x

，且其函数图象经过点（1，2）
（1）求实数a的值；
（2）判断函数在（0，a]和（1，+∞）的单调性，并说明理由．

Answer 1

考点：函数的图象,函数单调性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：把点（1，2）的坐标代入f（x）=x+

a

x

，求出a．对函数f（x）求导，利用导数判断函数的单调性．

解答： 解：（1）∵函数f（x）=x+

a

x

，且其函数图象经过点（1，2），∴f（1）=2，
∴1+

a

1

=2，∴a=1．
（2）∵a=1，∴f(x)=x+

1

x

∴f′（x）=1-

1

x2

=

x2-1

x2

=

(x+1)(x-1)

x2

，
令f′（x）=0得x=-1，或x=1
由f′（x）＞0得x＜-1或x＞1，由f′（x）＜0得-1＜x＜1，
∴在x∈（0，1]时f′（x）＜0，在x∈（1，+∞）时f′（x）＞0，
∴在f（x）在（0，1]上单调递增减，在（1，+∞）上单调递增．

点评：本题主要考查利用导数研究函数单调性，属于中档题．