Question

设f（x）=

-2x+1

2x+1+a

（a为实常数）
（I）当a=1时，证明：f（x）不是奇函数；
（Ⅱ）当a=2时，若f（x）＜k对一切实数x成立，求k的取值范围．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质,函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用

分析：（I）计算f（1），f（-1），判定是否相等；
（II）判定函数的单调性，求出f（x）的最大值即可．

解答： 解：（Ⅰ）∵f(x)=

-2x+1

2x+1+1

，
∴f(1)=

-2+1

22+1

=-

1

5

，f(-1)=

- 1 2 +1

2

=

1

4

．
∴f（-1）≠-f（1），f（x）不是奇函数．
（Ⅱ）f(x)=

-2x+1

2x+1+2

=-

1

2

+

1

2x+1

，
∵2^x＞0，∴2^x+1＞1，0＜

1

2x+1

＜1，
从而-

1

2

＜f（x）＜

1

2

．
要使f（x）＜k对一切实数x成立，须k≥

1

2

．

点评：本题考查了函数的奇偶性、单调性，考查了恒成立问题的等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．