若椭圆的中心在原点.焦点在轴上.短轴的一个端点与左右焦点.组成一个正三角形.焦点到椭圆上的点的最短距离为.(1)求椭圆的方程,(2)过点作直线与椭圆交于.两点.线段的中点为,求直线的斜率的取值范围. 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

若椭圆的中心在原点，焦点在轴上，短轴的一个端点与左右焦点、组成一个正三角形，焦点到椭圆上的点的最短距离为.
(1)求椭圆的方程；
(2)过点作直线与椭圆交于、两点，线段的中点为,求直线的斜率的取值范围.

(1) (2)且

解析试题分析：(1)设椭圆的方程为
由所以，椭圆的方程为 ……1…5 分
(2)、，
当直线的斜率不存在时，的中点为，直线的斜率；
当直线的斜率存在时，设其斜率为，直线的方程为：，……2
由12联立消去并整理得：
设，则 ……10分
当时，的中点为坐标原点，直线的斜率； ……11 分
当时，，
且 ……13 分
考点：椭圆方程性质及直线与椭圆的位置关系
点评：直线与椭圆相交的问题常联立方程，结合韦达定理求解，在求解过程中要注意分直线斜率是否存在两种情况分别讨论，再应用均值不等式求得斜率最值

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已知两定点,,动点满足，由点向轴作垂线段，垂足为，点满足，点的轨迹为.
（1）求曲线的方程;
（2）过点作直线与曲线交于,两点，点满足（为原点），求四边形面积的最大值，并求此时的直线的方程.

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已知椭圆：，左、右两个焦点分别为、，上顶点，为正三角形且周长为6.
（1）求椭圆的标准方程及离心率；
（2）为坐标原点，是直线上的一个动点，求的最小值，并求出此时点的坐标．

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如图，已知椭圆＝1(a＞b＞0)的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点F₁、F₂为顶点的三角形的周长为4(＋1)，一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P为该双曲线上异于顶点的任一点，直线PF₁和PF₂与椭圆的交点分别为A、B和C、D.

(1)求椭圆和双曲线的标准方程；
(2)设直线PF₁、PF₂的斜率分别为k₁、k₂，证明：k₁·k₂＝1；
(3)是否存在常数λ，使得|AB|＋|CD|＝λ|AB|·|CD|恒成立？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．

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设椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为，离心率为，在轴负半轴上有一点，且

（1）若过三点的圆恰好与直线相切，求椭圆C的方程；
（2）在（1）的条件下，过右焦点作斜率为的直线与椭圆C交于两点，在轴上是否存在点，使得以为邻边的平行四边形是菱形，如果存在，求出的取值范围；如果不存在，说明理由．

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圆C的圆心在y轴上，且与两直线l₁：；l₂：均相切．
（I）求圆C的方程；
（II）过抛物线上一点M，作圆C的一条切线ME，切点为E，且的最小值为4，求此抛物线准线的方程．

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科目：高中数学 来源： 题型：解答题

已知中心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆，它的离心率为，一个焦点和抛物线的焦点重合,过直线上一点引椭圆的两条切线，切点分别是.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若在椭圆上的点处的椭圆的切线方程是. 求证:直线恒过定点；并出求定点的坐标.
（Ⅲ）是否存在实数，使得恒成立？(点为直线恒过的定点)若存在，求出的值；若不存在，请说明理由。