已知椭圆的离心率为,以原点为圆心,椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)若过点的直线与椭圆相交于两点,设为椭圆上一点,且满足(其中为坐标原点),求整数的最大值.
(Ⅰ). (Ⅱ)的最大整数值为1.
解析试题分析:(Ⅰ)由题知, 所以.即.
又因为,所以,.
故椭圆的方程为. 5分
(Ⅱ)由题意知直线的斜率存在.
设:,,,,
由得.
,.
, 8分
∵,∴,,
.
∵点在椭圆上,∴,
∴ 12分
,
∴的最大整数值为1. 14分
考点:本题主要考查椭圆标准方程,直线与椭圆的位置关系,存在性问题研究。
点评:难题,曲线关系问题,往往通过联立方程组,得到一元二次方程,运用韦达定理。本题求椭圆、标准方程时,主要运用了椭圆的几何性质。对于存在性问题,往往先假设存在,利用已知条件加以探究,以明确计算的合理性。本题(III)通过假设t,利用韦达定理进一步确定t与k的关系式,通过确定函数的值域,得到t的范围。
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双曲线=1(a>0,b>0)的离心率为2,坐标原点到直线AB的距离为,其中A(0,-b),B(a,0).
(1)求双曲线的标准方程;
(2)设F是双曲线的右焦点,直线l过点F且与双曲线的右支交于不同的两点P、Q,点M为线段PQ的中点.若点M在直线x=-2上的射影为N,满足·=0,且||=10,求直线l的方程.
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若椭圆的中心在原点,焦点在轴上,短轴的一个端点与左右焦点、组成一个正三角形,焦点到椭圆上的点的最短距离为.
(1)求椭圆的方程;
(2)过点作直线与椭圆交于、两点,线段的中点为,求直线的斜率的取值范围.
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设,分别是椭圆E:+=1(0﹤b﹤1)的左、右焦点,过的直线与E相交于A、B两点,且,,成等差数列。
(Ⅰ)求;
(Ⅱ)若直线的斜率为1,求b的值。
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已知中心在坐标原点,焦点在轴上的椭圆过点,且它的离心率.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)与圆相切的直线交椭圆于两点,若椭圆上一点满足,求实数的取值范围.
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如图,设抛物线方程为,为直线上任意一点,过引抛物线的切线,切点分别为.
(1)求证:三点的横坐标成等差数列;
(2)已知当点的坐标为时,.求此时抛物线的方程。
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(本小题满分12分)
已知椭圆左、右焦点分别为F1、F2,点,点F2在线段PF1的中垂线上。
(1)求椭圆C的方程;
(2)设直线与椭圆C交于M、N两点,直线F2M与F2N的倾斜角互补,求证:直线过定点,并求该定点的坐标。
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