Question

11．已知函数f（x）=2lnx+x²-a²x（x＞0，a∈R）．
（1）当a＞0时，若函数f（x）在区间[1，2]上单调递减，求a的最小值；
（2）是否存在实数a，使f′（1）是f（x）的极小值？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）求导数，函数f（x）在区间[1，2]上单调递减，可得$\frac{2}{x}$+2x-a²≤0在区间[1，2]上恒成立，分离参数求最大值，即可求a的最小值；
（2）若f′（1）是f（x）的极小值，则f′（1）=4-a²=0，再验证函数的单调性，即可得出结论．

解答 解：（1）∵f（x）=2lnx+x²-a²x，
∴f′（x）=$\frac{2}{x}$+2x-a²，
∵函数f（x）在区间[1，2]上单调递减，
∴$\frac{2}{x}$+2x-a²≤0在区间[1，2]上恒成立，
∴a²≥$\frac{2}{x}$+2x，
∵y=$\frac{2}{x}$+2x在区间[1，2]上单调递增，
∴y_max=5，
∴a²≥5，
∵a＞0，
∴a≥$\sqrt{5}$；
（2）f′（x）=$\frac{2}{x}$+2x-a²，
∴若f′（1）是f（x）的极小值，则f′（1）=4-a²=0，
∴a²=4，
∴f′（x）=$\frac{2（x-1）^{2}}{x}$，
∴函数在（0，1），（1，+∞）上单调递增，
∴f′（1）不是f（x）的极小值．

点评 本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性与极值，考查分离参数法的运用，属于中档题．