Question

【题目】已知函数.

（1）当时，求函数的单调区间；

（2）设，当时，对任意，存在，使得，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）当时，单调减区间是，单调增区间是，；当时，单调增区间是，没有单调减区间；（2）.

【解析】

（1）先求函数的定义域，利用函数的导函数，得或，当时，分，讨论即可得到答案；

（2）当时，由（1）知在上单调递减，在上单调递增，

从而在上的最小值为，由题意得，即，令，求新函数的最大值即可得实数的取值范围.

（1）函数的定义域为，

，

由，得或.

当即时，由得，

由得或；

当即时，当时都有；

当时，单调减区间是，单调增区间是，；

当时，单调增区间是，没有单调减区间.

（2）当时，由（1）知在上单调递减，在上单调递增，

从而在上的最小值为.

对任意，存在，使得，

即存在，使的值不超过在区间上的最小值.

由，.

令，则当时，.

，

当时；当时，，.

故在上单调递减，

从而，

从而.