Question

2．证明．对于任意两个向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$都有||$\overrightarrow{a}$|-|$\overrightarrow{b}$||≤|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|≤|$\overrightarrow{a}$|+|$\overrightarrow{b}$|．

Answer 1

分析 根据向量的几何意义借助于三角形的性质得出．

解答 证明：（1）若$\overrightarrow{a}$或$\overrightarrow{b}$为零向量，显然结论成立；
（2）若$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$为非零向量，
①若$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$方向相同，则||$\overrightarrow{a}$|-|$\overrightarrow{b}$||=|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|＜|$\overrightarrow{a}$|+|$\overrightarrow{b}$|．
②若$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$方向相反，则||$\overrightarrow{a}$|-|$\overrightarrow{b}$||＜|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{a}$|+|$\overrightarrow{b}$|．
③若$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$不共线，设$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{OB}$，则$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$=$\overrightarrow{BA}$．
则|$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$|=|AB|，||$\overrightarrow{a}$|+|$\overrightarrow{b}$|=|OA|+|OB|，||$\overrightarrow{a}$|-|$\overrightarrow{b}$||=|OA-OB|．
由三角形的性质两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，可知|OA-OB|＜|AB|＜|OA|+|OB|．
∴||$\overrightarrow{a}$|-|$\overrightarrow{b}$||＜|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|＜|$\overrightarrow{a}$|+|$\overrightarrow{b}$|．
综上，||$\overrightarrow{a}$|-|$\overrightarrow{b}$||≤|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|≤|$\overrightarrow{a}$|+|$\overrightarrow{b}$|．

点评 本题考查了平面向量的几何意义，分类讨论，数形结合思想，属于基础题．