Question

直线与椭圆交于，两点，已知，，若且椭圆的离心率，又椭圆经过点，为坐标原点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若直线过椭圆的焦点（为半焦距），求直线的斜率的值；
（Ⅲ）试问：的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由.

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）三角形的面积为定值。证明见解析

(I)由e和椭圆过点可得到关于a,b的两个方程，从而解出a,b值求出椭圆的方程.
(II) 设的方程为，由已知得：
=0，
然后直线方程与椭圆方程联立消y后得到关于x的一元二次方程，利用韦达定理建立关于k的方程求出k值.
(III)要讨论AB斜率存在与不存在两种情况.研究当AB斜率存在时，由已知，得,又在椭圆上，所以,从而证明出为定值.
解：（Ⅰ）∵  ……2分
∴   
∴椭圆的方程为……………3分
（Ⅱ）依题意，设的方程为
由
显然
      ………………5分
由已知得：
 
 
解得            ……………………6分
（Ⅲ）①当直线斜率不存在时，即，
由已知，得
又在椭圆上，
所以
 ,三角形的面积为定值．………7分
②当直线斜率存在时：设的方程为

必须 即
得到，        ………………9分
∵，∴
代入整理得：              …………………10分
   …………11分
    所以三角形的面积为定值． ……12分