Question

9．已知点M（1，0），A，B是椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1上的动点，且$\overrightarrow{MA}$$•\overrightarrow{MB}$=0，则$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{BA}$的取值是（　　）

• A． [$\frac{2}{3}$，1]
• B． [1，9]
• C． [$\frac{2}{3}$，9]
• D． [$\frac{\sqrt{6}}{3}$，3]

Answer 1

分析 利用$\overrightarrow{MA}$$•\overrightarrow{MB}$=0，可得$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{BA}$=$\overrightarrow{MA}$•（$\overrightarrow{MA}$-$\overrightarrow{MB}$）=${\overrightarrow{MA}}^{2}$，设A（2cosα，sinα），可得${\overrightarrow{MA}}^{2}$=（2cosα-1）²+sin²α，即可求解数量积的取值范围．

解答 解：∵$\overrightarrow{MA}$$•\overrightarrow{MB}$=0，可得 $\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{BA}$=$\overrightarrow{MA}$•（$\overrightarrow{MA}$-$\overrightarrow{MB}$）=${\overrightarrow{MA}}^{2}$，
设A（2cosα，sinα），
则${\overrightarrow{MA}}^{2}$=（2cosα-1）²+sin²α=3cos²α-4cosα+2=3（cosα-$\frac{2}{3}$）²+$\frac{2}{3}$，
∴cosα=$\frac{2}{3}$时，${\overrightarrow{MA}}^{2}$的最小值为$\frac{2}{3}$；cosα=-1时，${\overrightarrow{MA}}^{2}$的最大值为9，
故选：C．

点评 本题考查椭圆方程，考查向量的数量积运算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．