Question

3．已知数列{a_n}中，a₁=1，a₃=4．
（Ⅰ）若数列{a_n}是等差数列，求a₁₁的值；
（Ⅱ）若数列{$\frac{1}{1+{a}_{n}}$}是等差数列，求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据等差数列的通项公式求得公差d，然后代入通项公式求得a₁₁的值；
（Ⅱ）设b_n=$\frac{1}{1+{a}_{n}}$，则数列{b_n}是等差数列，根据等差数列的定义求得b_n=$\frac{13-3n}{20}$，易得数列{a_n}的通项公式．

解答 解：（Ⅰ）设等差数列{a_n}的公差d，则a_n=a₁+（n-1）d，
由题设，2d=4-1=3，
所以d=$\frac{3}{2}$．
所以a_n=1+$\frac{3}{2}$（n-1）=$\frac{1}{2}$+$\frac{3n}{2}$，
所以a₁₁=16；
（Ⅱ）设b_n=$\frac{1}{1+{a}_{n}}$，则数列{b_n}是等差数列，
b₁=$\frac{1}{2}$，b₃=$\frac{1}{5}$，b_n=$\frac{1}{2}$-$\frac{3}{20}$（n-1）=$\frac{13-3n}{20}$，
即$\frac{1}{1+{a}_{n}}$=$\frac{13-3n}{20}$，
所以a_n=$\frac{7+3n}{13-3n}$．

点评 本题考查等差数列的性质，考查等差数列的通项公式，考查运算与推理的能力，属于中档题．