Question

2．如图，设椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，上顶点为A，左、右焦点分别为F₁，F₂，线段OF₁，OF₂的中点分别为B₁，B₂，且△AB₁B₂是面积为4的直角三角形．过B₁作l交椭圆于P、Q两点，使PB₂垂直QB₂，求直线l的方程x+2y+2=0和x-2y+2=0．

Answer 1

分析 由题意设出椭圆的标准方程，结合已知列式求出椭圆方程，再设出直线l的方程x=my-2，联立直线方程和椭圆方程，化为关于y的一元二次方程，由根与系数的关系结合向量数量积为0列式求得m值，则直线方程可求．

解答 解：设所求椭圆的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0），右焦点为F₂（c，0）．
∵△AB₁B₂是直角三角形，又|AB₁|=|AB₂|，∴∠B₁AB₂为直角，
因此|OA|=|OB₂|，得b=$\frac{c}{2}$．
结合c²=a²-b²，得4b²=a²-b²，故a²=5b²，c²=4b²，∴离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2}{5}$$\sqrt{5}$．
在Rt△AB₁B₂中，OA⊥B₁B₂，故${S}_{△A{B}_{1}{B}_{2}}$=$\frac{1}{2}$•|B₁B₂|•|OA|=|OB₂|•|OA|=$\frac{c}{2}$•b=b²．
由题设条件△AB₁B₂的面积为4，得b²=4，从而a²=5b²=20．
因此所求椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{20}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$．
则B₁（-2，0），B₂（2，0）．
由题意知直线l的倾斜角不为0，故可设直线l的方程为：x=my-2．
代入椭圆方程得（m²+5）y²-4my-16=0．
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则${y}_{1}{y}_{2}=-\frac{16}{{m}^{2}+5}$．
又$\overrightarrow{{B}_{2}Q}=（{x}_{2}-2，{y}_{2}）$，
∴由PB₂⊥QB₂，得$\overrightarrow{{B}_{2}P}•\overrightarrow{Q{B}_{2}}=0$，
即16m²-64=0，解得m=±2．
∴满足条件的直线有两条，其方程分别为x+2y+2=0和x-2y+2=0，
故答案为：x+2y+2=0和x-2y+2=0．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查了直线与椭圆位置关系的应用，体现了“设而不求”的解题思想方法和数学转化思想方法，是中档题．