Question

13．证明f（x）=-x²+3在（0，+∞）上是减函数．

Answer 1

分析 证法一：设0＜x₁＜x₂，作差判断f（x₁）与f（x₂）的大小，根据函数单调性的定义，可得f（x）=-x²+3在（0，+∞）上是减函数．
证法二：求导，根据当x∈（0，+∞）时，f′（x）＜0恒成立，可得：f（x）=-x²+3在（0，+∞）上是增函数

解答 证法一：设0＜x₁＜x₂…（2分）
则$f（{x_1}）-f（{x_2}）=-x_1^2+3-（{-x_2^2+3}）$…（4分）
=$x_2^2-x_1^2=（{{x_2}+{x_1}}）（{{x_2}-{x_1}}）$…（6分）
∵0＜x₁＜x₂，
∴x₂+x₁＞0，x₂-x₁＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0
∴f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）=-x²+3在（0，+∞）上是增函数…（10分）
证法二：∵f（x）=-x²+3，
∴f′（x）=-2x，…（4分）
当x∈（0，+∞）时，
f′（x）＜0恒成立，…（8分）
∴f（x）=-x²+3在（0，+∞）上是增函数…（10分）

点评 本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性，难度中档．