Question

15．若定义域为R的函数f（x）满足：对于任意的x₁，x₂∈R，都有f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂）-2016，且x＞0时，有f（x）＞2016，f（x）在区间[-2016，2016]的最大值，最小值分别为M、N，则M+N的值为（　　）

• A． 2015
• B． 2016
• C． 4030
• D． 4032

Answer 1

分析 根据：对于任意的x₁，x₂∈R，都有f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂）-2016，得出f（0）=2016，f（x）+f（-x）=4032，x∈[-2016，2016]恒成立，可判断f（x）的图象关于（0，2016）对称，运用函数图象的特殊性可以判断出答案．

解答 解：∵对于任意的x₁，x₂∈R，x₁＜x₂，x₂-x₁＞0，
都有f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂）-2016，
∴f（x₂-x₁）＞2016，
f（x₂）-f（x₁）=f（x₂-x₁+x₁）-f（x₁）
=f（x₂-x₁）+f（x₁）-f（x₁）-2016
=f（x₂-x₁）-2016＞0，即f（x₁）＜f（x₂）
∴f（x）在R上单调递增，
∴M=f（2016），N=f（-2016），
∵对于任意的x₁，x₂∈[-2016，2016]，
∴f（0）=2f（0）-2016，即f（0）=2016，
∴f（x-x）=f（x）+f（-x）-20126
即f（x）+f（-x）-2016=f（0），
f（x）+f（-x）=4032
∴M+N的值为4032，
故选：D．

点评 本题主要考查了抽象函数及其应用，涉及到抽象函数的构造和奇偶性的判断和证明，函数最值之间的关系，属于中档题．