Question

（2011•东城区二模）已知sin（A+

π

4

）=

7 2

10

，A∈（0，

π

4

）．
（Ⅰ）求cosA的值；
（Ⅱ）求函数f（x）=cos2x+5cosAcosx+1的值域．

Answer 1

分析：（Ⅰ）cosA=cos（（A+

π

4

）-

π

4

），根据余弦函数差的公式代入求值．
（Ⅱ）将f（x）化简，f（x）=cos2x+5cosAcosx+1=2cos²x+4cosx=2（cosx+1）²-2，x∈R．根据cosx的范围求出f（x）的最大最小值，确定值域．

解答：解：（Ⅰ）因为A∈（0，

π

4

）．
且sin（A+

π

4

）=

7 2

10

，
所以

π

4

＜A+

π

4

＜

π

2

，
cos（A+

π

4

）=

2

10

．
因为cosA=cos（（A+

π

4

）-

π

4

）
=cos（A+

π

4

）cos

π

4

+sin（A+

π

4

）sin

π

4

=

2

10

×

2

2

+ 

7 2

10

•

2

2

=

4

5

所以 cosA=

4

5

．                             
（Ⅱ）因为f（x）=cos2x+5cosAcosx+1
=2cos²x+4cosx
=2（cosx+1）²-2，x∈R．
因为cosx∈[-1，1]，
所以，当cosx=1时，f（x）取最大值6；
当cosx=-1时，f（x）取最小值-2．
所以函数f（x）的值域为[-2，6]．

点评：本题考查了三角函数的化简求最值，以及余弦函数差的公式，还考查了二次函数的性质，综合性比较强．