Question

对于函数f（x）=

a+2

2x+1

（x∈R）．
（1）判断f（x）在R上的单调性用定义证明；
（2）在a=1的条件下，解不等式f（2t+1）≤f（t-5）．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明,奇偶性与单调性的综合

专题：函数的性质及应用

分析：（1）先判断函数f（x）的单调性，再利用函数单调性的定义的步骤：取值、作差、变形、定号、下结论进行证明，需要对a分类讨论判断出符号；
（2）由（1）得到函数的单调性，利用函数单调性的定义将不等式转化为关于x的不等式，再求出解集．

解答： 解：（1）当a＜-2时，a+2＜0，即f（x₁）-f（x₂）＜0，则f（x₁）＜f（x₂），所以f（x）在R上是增函数，
当a＞-2时，a+2＞0，即f（x₁）-f（x₂）＞0，则f（x₁）＞f（x₂），所以f（x）在R上是减函数，
当a=-2时，a+2=0，即f（x₁）-f（x₂）=0，则f（x₁）＜f（x₂），所以f（x）在R上没有单调性；
证明如下：任取x₁、x₂∈R，且x₁＜x₂，
f（x₁）-f（x₂）=

a+2

2x1+1

-

a+2

2x2+1

=（a+2）

2x2+1-(2x1+1)

(2x1+1)(2x2+1)

=（a+2）

2x2-2x1

(2x1+1)(2x2+1)

，
因为x₁＜x₂，所以2x2＞2x1＞0，则

2x2-2x1

(2x1+1)(2x2+1)

＞0，
当a＜-2时，a+2＜0，即f（x₁）-f（x₂）＜0，则f（x₁）＜f（x₂），所以f（x）在R上是增函数，
当a＞-2时，a+2＞0，即f（x₁）-f（x₂）＞0，则f（x₁）＞f（x₂），所以f（x）在R上是减函数，
当a=-2时，a+2=0，即f（x₁）-f（x₂）=0，则f（x₁）＜f（x₂），所以f（x）在R上没有单调性；
（2）由（1）得，当a=1时f（x）在R上是减函数，
所以不等式f（2t+1）≤f（t-5）等价于2t+1≥t-5，解得t≥-6，
所以不等式的解集是[-6，+∞）．

点评：本题考查函数的单调性的定义，以及利用单调性的定义的步骤：取值、作差、变形、定号、下结论证明，考查分类讨论思想．