Question

平面上三个向量

OA

，

OB

，

OC

，满足|

OA

|=1，|

OB

|=

3

，|

OC

|=1，

OA

•

OB

=0，则

CA

•

CB

的最大值是

 

．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：平面向量及应用

分析：由于满足|

OA

|=1，|

OB

|=

3

，|

OC

|=1，

OA

•

OB

=0，建立如图所示的直角坐标系，可得A（1，0），B（0，

3

），可设C（cosθ，sinθ），θ∈[0，2π）．再利用向量的坐标运算、数量积运算、两角和差的正弦公式、正弦函数的单调性有界性即可得出．

解答： 解：∵满足|

OA

|=1，|

OB

|=

3

，|

OC

|=1，

OA

•

OB

=0，
如图所示，
∴A（1，0），B（0，

3

），
可设C（cosθ，sinθ），θ∈[0，2π）．
∴

CA

=（1-cosθ，-sinθ），

CB

=（-cosθ，

3

-sinθ），
∴

CA

•

CB

=-cosθ（1-cosθ）-sinθ（

3

-sinθ）=-cosθ-

3

cosθ+1=-2sin（θ+

π

6

）+1≤3，
当且仅当θ=

4π

3

时取等号．
∴

CA

•

CB

最大值是3．
故答案为：3．

点评：本题考查了向量的坐标运算、数量积运算、两角和差的正弦公式、正弦函数的单调性有界性，属于中档题．