Question

数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=2a_n-1，设b_n=2（log₂a_n+1），n∈N^*．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{b_n•a_n}的前n项和T_n；
（3）证明：对于任意n∈N₊，不等式

b1+1

b1

•

b2+1

b2

•…•

bn+1

bn

＞

n+1

恒成立．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知得S₁=a₁=2a₁-1，当n≥2时，S_n=2a_n-1，S_n-1=2a_n-1-1，从而{a_n}是首项为1，公比为2的等比数列，由此能求出an=2n-1．
（2）由b_n=2（log₂a_n+1）=2（log₂2^n-1+1）=2n．得b_n•a_n=2n•2^n-1=n•2ⁿ，由此利用错位相减法能求出T_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2．
（3）由

bn+1

bn

=

2n+1

2n

，利用用数学归纳法证明不等式

3

2

×

5

4

×…×

2n+1

2n

＞

n+1

成立，即可证明对于任意n∈N₊，不等式

b1+1

b1

•

b2+1

b2

•…•

bn+1

bn

＞

n+1

恒成立．

解答： （1）解：∵数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=2a_n-1，
∴S₁=a₁=2a₁-1，
解得a₁=1，
当n≥2时，S_n=2a_n-1，S_n-1=2a_n-1-1，
两式相减，得a_n=2a_n-2a_n-1，∴a_n=2a_n-1，
∴{a_n}是首项为1，公比为2的等比数列，
∴an=2n-1．
（2）解：b_n=2（log₂a_n+1）=2（log₂2^n-1+1）=2n．
∴b_n•a_n=2n•2^n-1=n•2ⁿ，
∴T_n=1•2+2•2²+3•2³+…+n•2ⁿ，①
2Tn=1•22+2•23+3•24+…+n•2n+1，②
①-②，得：-T_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹
=

2(1-2n)

1-2

-n•2ⁿ⁺¹
=（1-n）•2ⁿ⁺¹-2．
∴T_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2．
（3）证明：∵b_n=2n，∴

bn+1

bn

=

2n+1

2n

，
∴

b1+1

b1

•

b2+1

b2

•…•

bn+1

bn

=

3

2

×

5

4

×…×

2n+1

2n

，
下面用数学归纳法证明不等式

3

2

×

5

4

×…×

2n+1

2n

＞

n+1

成立．
①当n=1时，左边=

3

2

，右边=

2

，
∵

3

2

＞

2

，∴不等式成立．
②假设当n=k时不等式成立，即

3

2

×

5

4

×…×

2k+1

2k

＞

k+1

成立．
则当n=k+1时，左边=

3

2

×

5

4

×…×

2k+1

2k

×

2k+3

2k+2

＞

k+1

•

2k+3

2k+2

=

(2k+3)2 4(k+1)

=

(k+1)+1+ 1 4(k+1)

＞

k+2

，
∴当n=k+1时，不等式也成立．
由①、②可得不等式恒成立．
∴对于任意n∈N₊，不等式

b1+1

b1

•

b2+1

b2

•…•

bn+1

bn

＞

n+1

恒成立．

点评：本题主要考查数列的通项公式、前n项和公式的求法，考查不等式的证明，考查等差数列、等比数列等基础知识，考查抽象概括能力，推理论证能力，运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，解题时要注意错位相减法和数学归纳法的合理运用．