Question

（理科）各项均为正数的数列{a_n}中，a₁=1，S_n是数列{a_n}的前n项和，对任意n∈N^*，有2S_n=2pa_n²+pa_n-p（p∈R）．
（1）求常数P的值；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）记b_n=

4Sn

n+3

2ⁿ，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知得2a1=2pa12+pa1-p，由此能求出p=1．
（2）由已知得2an+1=2(an+12-an2)+(an+1-an)，从而（a_n+1+a_n）（2a_n+1-2a_n-1）=0，由此得到数列{a_n}是首项为1，公差为

1

2

的等差数列，由此能求出a_n=

n+1

2

．
（3）由Sn=n+

n(n-1)

2

×

1

2

=

n(n+3)

4

，得bn=

4Sn

n+3

•2n=n•2ⁿ，由此利用错位相减法能求出数列{b_n}的前n项和T_n．

解答： 解：（1）∵a₁=1，S_n是数列{a_n}的前n项和，
对任意n∈N^*，有2S_n=2pa_n²+pa_n-p（p∈R），
∴2a1=2pa12+pa1-p，
∴2=2p+p-p，
解得p=1．
（2）∵2S_n=2pa_n²+pa_n-p（p∈R），①
∴2S_n+1=2pa_n+1²+pa_n+1-p（p∈R），②
②-①，得：2an+1=2(an+12-an2)+(an+1-an)，
∴2（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n）-（a_n+1+a_n）=0，
∴（a_n+1+a_n）（2a_n+1-2a_n-1）=0，
∵数列{a_n}各项均为正数，∴2a_n+1-2a_n=1，即an+1-an=

1

2

，
∴数列{a_n}是首项为1，公差为

1

2

的等差数列，
∴a_n=1+(n-1)×

1

2

=

n+1

2

．
（3）∵数列{a_n}是首项为1，公差为

1

2

的等差数列，
∴Sn=n+

n(n-1)

2

×

1

2

=

n(n+3)

4

，
∴bn=

4Sn

n+3

•2n=n•2ⁿ，
∴T_n=1×2+2×2²+3×2²+…+n×2ⁿ，①
2Tn=1×22+2×22+3×23+…+n×2ⁿ⁺¹，②
①-②，得-T_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹
=

2(1-2n)

1-2

-n×2n+1
=-（n-1）•2ⁿ⁺¹-2，
∴Tn=(n-1)•2n+1+2．

点评：本题主要考查数列的通项公式、前n项和公式的求法，考查等差数列、等比数列等基础知识，考查抽象概括能力，推理论证能力，运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，解题时要注意错位相减法的合理运用．