Question

已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，在正方体内随机取点M，求使四棱锥M-ABCD的体积小于

1

6

的概率．

Answer 1

考点：几何概型

专题：概率与统计

分析：算出当四棱锥M-ABCD的体积等于

1

6

时，点M到平面ABCD的距离等于

1

2

，可得当M到平面ABCD的距离小于

1

2

时，四棱锥M-ABCD的体积小于

1

6

．
由此利用长方体、正方体的体积公式和几何概型公式加以计算，可得所求概率

解答： 解：∵正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，
∴正方体的体积V=1×1×1=1．
当四棱锥M-ABCD的体积小于

1

6

时，设它的高为h，
则

1

3

×12h＜

1

6

，解之得h＜

1

2

则点M在到平面ABCD的距离等于

1

2

的截面以下时，四棱锥M-ABCD的体积小于

1

6

，
求得使得四棱锥M-ABCD的体积小于

1

6

的长方体的体积V'=1×1×

1

2

=

1

2

∴四棱锥M-ABCD的体积小于

1

6

的概率P=

V′

V

=

1

2

．
故答案为：

1

2

．

点评：本题给出正方体的棱长，求四棱锥的体积小于

1

6

的概率．着重考查了空间几何体的体积计算和几何概型计算公式等知识，属于中档题．