Question

如图，第（1）个多边形是由正三角形“扩展”而来，第（2）个多边形是由正四边形“扩展”而来，…如此类推．设由正n边形“扩展”而来的多边形的边数为a_n，

则数列{

1

an

}的前n项之和等于

 

．

Answer 1

考点：数列的求和,归纳推理

专题：等差数列与等比数列

分析：观察所给图形，得到n形扩展后的边数为：a_n=n（n+1），从而

1

an

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，由此利用裂项求和法能求出数列{

1

an

}的前n项之和．

解答： 解：多边形边数与扩展后边数的关系为：
三角形扩展后的边数为：12=3×（3+1），
四边形扩展后的边数为：20=4×（4+1），
五边形扩展后的边数为：30=5×（5+1），
六边形扩展后的边数为：42=6×（6+1），
…
由此得到：n形扩展后的边数为：a_n=n（n+1），
∴

1

an

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
∴数列{

1

an

}的前n项之和：
S_n=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

=

n

n+1

．
故答案为：

n

n+1

．

点评：本题主要考查数列的前n项和公式的求法，考查抽象概括能力，推理论证能力，运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，解题时要注意裂项求和法的合理运用．