Question

1．已知数列{a_n}满足：a₁=1，a_n+1=$\frac{1}{2}$a_n（n∈N^*）．
（1）求通项a_n；
（2）若a₁+a₂+…+a_n＞$\frac{15}{8}$，求n的取值范围；
（3）求a_n+1+a_n+2+…+a_2n（用n表示）．

Answer 1

分析 （1）易知数列{a_n}是以1为首项、$\frac{1}{2}$为公比的等比数列，进而计算即得结论；
（2）a₁+a₂+…+a_n＞$\frac{15}{8}$等价于S_n=2-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$＞$\frac{15}{8}$，解不等式即可；
（3）利用a_n+1+a_n+2+…+a_2n=S_2n-S_n，计算即得结论．

解答 解：（1）∵a₁=1，a_n+1=$\frac{1}{2}$a_n（n∈N^*），
∴数列{a_n}是以1为首项、$\frac{1}{2}$为公比的等比数列，
∴通项a_n=1•$\frac{1}{{2}^{n-1}}$=$\frac{1}{{2}^{n-1}}$；
（2）∵a_n=$\frac{1}{{2}^{n-1}}$，
∴S_n=$\frac{1-\frac{1}{{2}^{n}}}{1-\frac{1}{2}}$=2-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$，
∵a₁+a₂+…+a_n＞$\frac{15}{8}$，
∴2-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$＞$\frac{15}{8}$，
解得：n＞4；
（3）a_n+1+a_n+2+…+a_2n
=S_2n-S_n
=（2-$\frac{1}{{2}^{2n-1}}$）-（2-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$）
=$\frac{1}{{2}^{n-1}}$-$\frac{1}{{2}^{2n-1}}$．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．