Question

19．如图，在棱长均为1的直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D是BC的中点．

（1）求证：AD⊥平面BCC₁B₁；
（2）求直线AC₁与面BCC₁B₁所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）直三棱柱的侧棱和底面垂直，从而可得到AD⊥BB₁，并且AD⊥BC，从而由线面垂直的判定定理可得到AD⊥平面BCC₁B₁；
（2）连接C₁D，从而可得到∠AC₁D为直线AC₁和平面BCC₁B₁所成角，在Rt△AC₁D中，容易求出AD，AC₁，从而sin∠AC₁D=$\frac{AD}{A{C}_{1}}$．

解答 证：（1）直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BB₁⊥面ABC；
∴BB₁⊥AD，又∵AB=AC，D是BC的中点；
∴AD⊥BC，BC∩BB₁=B；
∴AD⊥平面BCC₁B₁；
（2）连接C₁D，由（1）AD⊥平面BCC₁B₁；
则∠AC₁D即为直线AC₁与面BCC₁B₁所成角；
在直角△AC₁D中，$AD=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，$A{C_1}=\sqrt{2}$，$sin∠A{C_1}D=\frac{AD}{{A{C_1}}}=\frac{{\sqrt{6}}}{4}$；
即直线AC₁与面BCB₁C₁所成角的正弦值为$\frac{{\sqrt{6}}}{4}$．

点评 考查直三棱柱的定义，线面垂直的性质，线面垂直的判定定理，以及线面角的定义，正弦函数的定义．