Question

9．已知点A（x₁，log_ax₁），B（x₂，log_ax₂）是函数y=log_ax（a＞1）的图象上任意不同两点，依据图象可知，线段AB总是位于A，B两点之间函数图象的下方，因此有结论$\frac{lo{g}_{a}{x}_{1}+lo{g}_{a}{x}_{2}}{2}$＜log_a$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$成立，运用类比思想方法可知，若点C（x₁，cosx₁）、D（x₂，cosx₂）是函数y=cosx（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$）的图象上任意不同两点，则类似地有$\frac{cos{x}_{1}+cos{x}_{2}}{2}$＜cos$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$成立．

Answer 1

分析 由类比推理的规则得出结论，本题中所用来类比的函数是一个变化率越来越大的函数，而要研究的函数是一个变化率越来越小的函数，其类比方式可知．

解答 解：由题意知，点A（x₁，log_ax₁），B（x₂，log_ax₂）是函数y=log_ax（a＞1）的图象上任意不同两点，函数是变化率逐渐变大的函数，线段AB总是位于A、B两点之间函数图象的下方，因此有结论$\frac{lo{g}_{a}{x}_{1}+lo{g}_{a}{x}_{2}}{2}$＜log_a$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$成立；而函数y=cosx（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$）其变化率逐渐变小，线段AB总是位于A、B两点之间函数图象的下方，故可类比得到结论$\frac{cos{x}_{1}+cos{x}_{2}}{2}$＜cos$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$．
故答案为：$\frac{cos{x}_{1}+cos{x}_{2}}{2}$＜cos$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$．

点评 本题考查类比推理，求解本题的关键是理解类比的定义，及本题类比的对象之间的联系与区别，从而得出类比结论．