Question

14．设函数f（x）=$\frac{1}{3}{x}^{3}$-ax，g（x）=bx²+2b-1．
（Ⅰ）若曲线y=f（x）与曲线y=g（x）在它们的交点（1，c）处具有公共切线，求a，b的值；
（Ⅱ）当a=1-2b且a＞0时，若函数f（x）+g（x）在区间（-2，0）内恰有两个零点，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意求出f′（x）、g′（x），由题意得f（1）=g（1），且f′（1）=g′（1），解该方程组即可求出a、b的值；
（Ⅱ）把a=1-2b代入h（x）=f（x）+g（x）化简，并求出h′（x），利用导数求出单调性和极值，由函数在（-2，0）内有两零点列出不等式组，求出不等式的解集可得a的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）由题意得，f′（x）=x²-a，g′（x）=2bx，
因为曲线y=f（x）与曲线y=g（x）在它们的交点（1，c）处具有公共切线，
所以f（1）=g（1），且f′（1）=g′（1），
则$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{3}-a=3b-1}\\{1-a=2b}\end{array}\right.$，解得a=$\frac{1}{3}$，b=$\frac{1}{3}$；
（Ⅱ）记h（x）=f（x）+g（x），
当a=1-2b时，h（x）=$\frac{1}{3}{x}^{3}+\frac{1-a}{2}{x}^{2}-ax-a$，
则列出表格如下：

x	（-∞，-1）	-1	（-1，a）	a	（a，+∞）
h′（x）	+	0	-	0	+
h（x）	↗	极大值	↘	极小值	↗

所以函数h（x）的单调递增区间为（-∞，-1），（a，+∞）；单调递减区间为（-1，a），
故h（x）在区间（-2，-1）内单调递增，在区间（-1，0）内单调递减，
从而函数h（x）在区间（-2，0）内恰有两个零点，当且仅当$\left\{\begin{array}{l}{h（-2）＜0}\\{h（-1）＞0}\\{h（0）＜0}\end{array}\right.$，
解得$0＜a＜\frac{1}{3}$，
所以a的取值范围是（0，$\frac{1}{3}$）．

点评 本题考查导数的几何意义，导数与函数的单调性、极值的关系，以及函数零点的条件应用，考查化简、变形能力，综合性大、难度大．