【题目】如图,在三棱锥中,
,平面
平面
,
、
分别为
、
的中点.
(1)求证:
平面
;
(2)求证: ;
(3)求三棱锥的体积.
【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3) .
【解析】试题分析:
(1)由三角形中位线的性质可得DE∥BC,结合线面平行的判断定理可得DE∥平面PBC.
(2)连接PD,由等腰三角形三线合一可知PD⊥AB.且DE⊥AB.利用线面垂直的判断定理有AB⊥平面PDE,故AB⊥PE.
(3)转换顶点,将三棱锥看作以点P为顶点的三棱锥,计算可得,且PD是三棱锥P-BEC的高,计算可得
由三棱锥体积公式可得其体积
.
试题解析:
(1)证明:∵在△ABC中,D、E分别为AB、AC的中点,∴DE∥BC.
∵DE平面PBC且BC平面PBC,∴DE∥平面PBC.
(2)证明:连接PD.∵PA=PB,D为AB的中点,∴PD⊥AB.
∵DE∥BC,BC⊥AB,∴DE⊥AB.又∵PD、DE是平面PDE内的相交直线,
∴AB⊥平面PDE.
∵PE平面PDE,∴AB⊥PE.
(3)解:∵PD⊥AB,平面PAB⊥平面ABC,平面PAB∩平面ABC=AB,
∴PD⊥平面ABC,可得PD是三棱锥P-BEC的高.
又∵,
.
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在直角坐标系中,已知圆的圆心坐标为
,半径为
,以坐标原点为极点,
轴正半轴为极轴,建立极坐标系,直线
的参数方程为:
(
为参数)
(1)求圆和直线
的极坐标方程;
(2)点 的极坐标为
,直线
与圆
相较于
,求
的值.
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【题目】(本小题满分12分)
如图,在四棱锥P—ABCD中,侧面PAD⊥底面ABCD,侧棱PA=PD=,底面ABCD为直角梯形,其中BC∥AD,AB⊥AD,AD=2AB=2BC=2,O为AD中点.
(Ⅰ)求证:PO⊥平面ABCD;
(Ⅱ)求异面直线PB与CD所成角的余弦值;
(Ⅲ)求点A到平面PCD的距离.
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【题目】已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在
轴上,短轴长为
,且两个焦点和短轴的两个端点恰为一个正方形的顶点,过右焦点
与
轴不垂直的直线交椭圆于
,
两点.
(Ⅰ)求椭圆的方程.
(Ⅱ)当直线的斜率为
时,求
的面积.
(Ⅲ)在线段上是否存在点
,使得经
,
为领边的平行四边形是菱形?若存在,求出
的取值范围;若不存在,请说明理由.
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【题目】已知定义在上的奇函数
.
(Ⅰ) 求的值;
(Ⅱ) 若存在,使不等式
有解,求实数
的取值范围;
(Ⅲ)已知函数满足
,且规定
,若对任意
,不等式
恒成立,求实数
的最大值.
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