Question

已知函数f（x）=lnx+ax+

a+1

x

．
（1）当a＞-

1

2

时，讨论f（x）的单调性；
（2）当a=1时，若关于x的不等式f（x）≥m²-5m-3恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：（1）先求出函数定义域，再根据导数判断函数的单调性，需要分类讨论，
（2）求导数，得到单调区间，求出函数的极小值，也为最小值，由条件可知，只要最小值不小于m²-5m-3，解不等式即可得到．

解答： 解：∵f（x）=lnx+ax+

a+1

x

．
∴函数的定义域为（0，+∞），
∴f′（x）=

1

x

+a-

a+1

x2

=

ax2+x-(a+1)

x2

=

(x+ a+1 a )(x-1)

x2

令f′（x）=0，解得x=-1-

1

a

，或x=1，
∵令-1-

1

a

=1，解得a=-

1

2

，
①当-

1

2

＜a＜0时，-1-

1

a

＞1，
当f′（x）＞0时，即0＜x＜1，或x＞-1-

1

a

，函数f（x）单调递增，
当f′（x）＜0时，即1＜x＜-1-

1

a

，函数f（x）单调递减，
②当a＞0时，-1-

1

a

＜0，
当f′（x）＜0时，即0＜x＜1，函数f（x）单调递减，
当f′（x）＞0时，即x＞1，函数f（x）单调递增，
综上所述，当-

1

2

＜a＜0时，函数f（x）在（0，1）和（-1-

1

a

）单调递增，在（1，-1-

1

a

）单调递减，
当a＞0时，函数f（x）在（0，1）单调递减，在（1，+∞）上单调递增
（2）∵f（x）=lnx+x+

2

x

，
由（1）可知，函数f（x）在函数f（x）在（0，1）单调递减，在（1，+∞）上单调递增，
故当x=1时函数有极小值，
故函数的f（x）_min=f（1）=ln1+1+2=3，
关于x的不等式f（x）≥m²-5m-3恒成立，则有m²-5m-3≤3，
解得-1≤m≤6．
则实数m的取值范围是[-1，6]．

点评：本题考查了导数和函数的单调性的关系、分类讨论的思想方法等是解题的关键，属于中档题