已知函数f(x)=6x–6x2.设函数g1(x)=f(x), g2(x)=f［g1(x)］, g3(x)=f ［g2(x)］,-gn(x)=f［gn–1(x)］,-(1)求证:如果存在一个实数x0.满足g1(x0)=x0.那么对一切n∈N.gn(x0)=x0都成立,(2)若实数x0满足gn(x0)=x0.则称x0为稳定不动点.试求出所有这些稳定不动点,(3)设区间A=,对� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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已知函数f(x)=6x–6x²，设函数g₁(x)=f(x), g₂(x)=f［g₁(x)］, g₃(x)=f ［g₂(x)］,…g_n(x)=f［g_n_–1(x)］,…
（1）求证:如果存在一个实数x₀，满足g₁(x₀)=x₀，那么对一切n∈N，g_n(x₀)=x₀都成立；
（2）若实数x₀满足g_n(x₀)=x₀，则称x₀为稳定不动点，试求出所有这些稳定不动点；
（3）设区间A=（–∞,0）,对于任意x∈A，有g₁(x)=f(x)=a＜0, g₂(x)=f［g₁(x)］=f(0)＜0，
且n≥2时，g_n(x)＜0

试问是否存在区间B（A∩B≠

），对于区间内任意实数x，只要n≥2，都有g_n(x)＜0.

(1)证明略， (2)稳定不动点为0和

（3）只要n≥2,n∈N，都有g_n(x)＜0

(1)证明: 当n=1时，g₁(x₀)=x₀显然成立；
设n=k时，有g_k(x₀)=x₀(k∈N)成立，
则g_k₊₁(x₀)=f［g_k(x₀)］=f(x₀)=g₁(x₀)=x₀
即n=k+1时，命题成立.
∴对一切n∈N,若g₁(x₀)=x₀，则g_n(x₀)=x₀.
（2）解:由（1）知，稳定不动点x₀只需满足f(x₀)=x₀
由f(x₀)=x₀，得6x₀–6x₀²=x₀,∴x₀=0或x₀=

∴稳定不动点为0和

.
(3)解:∵f(x)＜0，得6x–6x²＜0

x＜0或x＞1.
∴g_n(x)＜0

f［g_n_–1(x)］＜0

g_n_–1(x)＜0或g_n_–1(x)＞1
要使一切n∈N,n≥2，都有g_n(x)＜0，必须有g₁(x)＜0或g₁(x)＞1.
由g₁(x)＜0

6x–6x²＜0

x＜0或x＞1
由g₁(x)＞0

6x–6x²＞1

故对于区间(

)和(1,+∞)内的任意实数x,
只要n≥2,n∈N，都有g_n(x)＜0.

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