Question

已知圆P：x²+y²=4y及抛物线S：x²=8y，过圆心P作直线l，此直线与上述两曲线的四个交点，自左向右顺次记为A，B，C，D，如果线段AB，BC，CD的长按此顺序构成一个等差数列，则直线l的斜率为

 

．

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：利用圆的方程求得其圆心坐标和直径，利用抛物线方程求得其焦点和准线方程，发现圆心和焦点重合，设出直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理求得A，D横坐标的和，进而求得其纵坐标的和，利用抛物线定义表示出AD的长度，根据已知三线段长度呈等差数列，建立等式最后求得k的值．

解答：
解：依题意圆的方程为x²+（y-2）²=4，
∴圆的直径|BC|=4，圆心为（0，2），
如图显然当直线斜率不存在时，直线与抛物线只有一个交点，不符合题意．
设直线方程为y=kx+2，代入抛物线方程得，
x²=8y=8kx+16，即x²-8kx-16=0，
∴x_A+x_D=8k，
∴y_A+y_D=8k²+4，
∵抛物线方程为x²=8y，
∴抛物线焦点为（0，2），即直线过抛物线焦点，
∴|AD|=y_A+y_D+4=8k²+8，
∵AB，BC，CD的长按此顺序构成一个等差数列，
∴2|BC|=|AB|+|CD|=|AD|-|BC|，
∴3|BC|=|AD|
∴8k²+8=12，即k²=

1

2

，
∴k=±

2

2

，
故答案为：±

2

2

．

点评：本题主要考查了抛物线的基本性质，直线与圆锥曲线的关系．一般是设出直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理结合抛物线定义解决问题．