Question

6．在边长为1的正三角形ABC中，$\overrightarrow{AD}$=x$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AE}$=y$\overrightarrow{AC}$，（x＞0，y＞0）且$\frac{3}{x}$+$\frac{4}{y}$=1，则$\overrightarrow{CD}$•$\overrightarrow{BE}$的最小值等于$\frac{11}{2}$+2$\sqrt{6}$．

Answer 1

分析 通过建立直角坐标系，利用数量积运算性质，再利用不等式的性质即可得出．

解答 解：如图所示则A$（0，\frac{\sqrt{3}}{2}）$，B$（-\frac{1}{2}，0）$，C$（\frac{1}{2}，0）$ 
故$\overrightarrow{AC}=（\frac{1}{2}，-\frac{\sqrt{3}}{2}）$ $\overrightarrow{AB}=（-\frac{1}{2}，-\frac{\sqrt{3}}{2}）$，
$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}=\frac{1}{2}$，$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AC}=1$
∴$\overrightarrow{CD}•\overrightarrow{BE}=（\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AC}）•（\overrightarrow{AE}-\overrightarrow{AB}）$
=$（x\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}）•（y\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}）$
=$xy\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}-x\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AB}-y\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$
=$\frac{1}{2}xy-x-y+1$=$\frac{1}{2}xy（\frac{3}{x}+\frac{4}{y}）-x-y+1$=$\frac{1}{2}（3y+4x）-x-y+1$
=$x+\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}$=$（x+\frac{1}{2}y）（\frac{3}{x}+\frac{4}{y}）+\frac{1}{2}$=$2+3+\frac{4x}{y}+\frac{3y}{2x}+\frac{1}{2}$
$≥\frac{11}{2}+2\sqrt{\frac{4x}{y}•\frac{3y}{2x}}=\frac{11}{2}+2\sqrt{6}$，当且仅当x=3+$\sqrt{6}$，y=2$\sqrt{6}$+4，时取等号．
故答案为：$\frac{11}{2}$+2$\sqrt{6}$．

点评 本题考查了数量积的运算性质、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题