Question

1．如图在△ABC中，AB=5，cos∠ABC=$\frac{1}{5}$．
（I）若BC=4，求△ABC的面积；
（II）若D为AC边的中点，且BD=$\frac{7}{2}$，求边BC的长．

Answer 1

分析 （1）利用同角三角函数的关系求出sin∠ABC，代入三角形的面积公式计算；
（2）$\overrightarrow{BD}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}$），两边平方即可解出|BC|．

解答 解：（Ⅰ）在△ABC中，∵cos∠ABC=$\frac{1}{5}$．∴sin∠ABC=$\frac{2\sqrt{6}}{5}$．
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}AB•BC•sin∠ABC$=$\frac{1}{2}×5×4×\frac{2\sqrt{6}}{5}$=4$\sqrt{6}$．
（Ⅱ）∵D为AC边的中点，∴$\overrightarrow{BD}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}$），
∴${\overrightarrow{BD}}^{2}$=$\frac{1}{4}$（${\overrightarrow{BA}}^{2}$+${\overrightarrow{BC}}^{2}$+2$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}$），即：$\frac{49}{4}$=$\frac{1}{4}$（25+|BC|²+2|BC|）．
解得：|BC|=4．

点评 本题考查了三角形的面积公式，向量在几何在的应用，属于中档题．