Question

16．已知平面区域P：$\left\{\begin{array}{l}x≥0\\ y≥1\\ x-y+3≥0\end{array}$．设圆C：（x-a）²+（y-b）²=2，若圆心C∈P且圆C与直线x+y-7=0相切，则z=2a-b的最大值为15．

Answer 1

分析 作出不等式组对应的平面区域，利用圆C与x轴相切，得到b=1为定值，此时利用数形结合确定a的取值即可得到结论

解答 解：作出不等式组对应的平面区域如图：
圆心为（a，b），半径为$\sqrt{2}$，∵圆心C∈P，且圆C与直线x+y-7=0相切，
如图，当直线b=2a-z点C时-z最小，z最大，由$\left\{\begin{array}{l}{x-y-3=0}\\{x+y-9=0}\end{array}\right.$得到D（8，1），
∴z=2a-b的最大值为2×8-1=15；
故答案为：15．

点评 本题主要考查了线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．