Question

11．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+y²=1（a＞1），过直线l：x=2上一点P作椭圆的切线，切点为A，当P点在x轴上时，切线PA的斜率为±$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设O为坐标原点，求△POA面积的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由P在x轴设出P点坐标及直线PA方程，将PA方程与椭圆方程联立，整理关于x的一元二次方程，△=0求得a²，即可求得椭圆方程；
（Ⅱ）设出切线方程和点P及点A的坐标，将切线方程代入椭圆方程，求得关于x的一元二次方程，△=0，求得A和P点的坐标，求得丨PO丨及A到直线OP的距离，根据三角形的面积公式求得S=丨k+$\sqrt{1+2{k}^{2}}$丨，平方整理关于k的一元二次方程，△≥0，即可求得S的最小值．

解答 解：（1）当P点在x轴上时，P（2，0），PA：$y=±\frac{{\sqrt{2}}}{2}（x-2）$，
$\left\{\begin{array}{l}y=±\frac{{\sqrt{2}}}{2}（x-2）\\ \frac{x^2}{a^2}+{y^2}=1\end{array}\right.⇒（\frac{1}{a^2}+\frac{1}{2}）{x^2}-2x+1=0$，
△=0⇒a²=2，椭圆方程为$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$；…-5
（2）设切线为y=kx+m，设P（2，y₀），A（x₁，y₁），
则$\left\{\begin{array}{l}y=kx+m\\{x^2}+2{y^2}-2=0\end{array}\right.$⇒（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0⇒△=0⇒m²=2k²+1，…7
且${x_1}=\frac{-2km}{{1+2{k^2}}}，{y_1}=\frac{m}{{1+2{k^2}}}$，y₀=2k+m
则$|PO|=\sqrt{{y_0}^2+4}$，
PO直线为$y=\frac{y_0}{2}x⇒$，A到直线PO距离$d=\frac{{|{y_0}{x_1}-2{y_1}|}}{{\sqrt{{y_0}^2+4}}}$，…-10
则${S_{△POA}}=\frac{1}{2}|PA|•d=\frac{1}{2}|{y_0}{x_1}-2{y_1}|=\frac{1}{2}|（2k+m）\frac{-2km}{{1+2{k^2}}}-\frac{2m}{{1+2{k^2}}}|$
=$|\frac{{1+2{k^2}+km}}{{1+2{k^2}}}m|=|k+m|=|k+\sqrt{1+2{k^2}}|$，…13
∴（S-k）²=1+2k²⇒k²+2Sk-S²+1=0，
$△=8{S^2}-4≥0⇒S≥\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，此时$k=±\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．…-15

点评 本题考查曲线方程的求法，考查三角形面积的最小值的求法，综合性强，难度大，解题时要注意推理论证能力的培养，属于中档题．