Question

1．如图，矩形OABC内的阴影部分由直线f（x）=sinx及直线x=a（a∈（0，2π））与x轴围成．向矩形OABC内随机掷一点，该点落在阴影部分的概率为$\frac{1}{2}$，求函数h（x）=x-f（x）在[0，a]上的值域．

Answer 1

分析 根据几何概型的概率公式，以及利用积分求出阴影部分的面积即可得到a，再求出函数h（x）=x-f（x）在[0，a]上的值域．

解答 解：根据题意，阴影部分的面积为${∫}_{0}^{a}$sinxdx=-（cosx）${|}_{0}^{a}$=1-cosa，
矩形的面积为$a•\frac{4}{a}$=4，
则由几何概型的概率公式可得$\frac{1-cosa}{4}$=$\frac{1}{2}$，
即cosa=-1，
又a∈（0，2π），
∴a=π，
h（x）=x-f（x）=x-sinx，h′（x）=1-cosx≥0
∴h（x）在[0，π]上单调递增，
∴函数h（x）=x-f（x）在[0，π]上的值域为[0，π]．

点评 本题主要考查几何概型的概率的计算，根据积分的几何意义求出阴影部分的面积是解决本题的关键．