Question

9．已知|AB|=2$\sqrt{5}$，M是线段AB的中点，点P在平面内运动且|PA|+|PB|=6，则|PM|的最大值和最小值分别是（　　）

• A． 3，$\sqrt{5}$
• B． 3，2
• C． 3，$\sqrt{3}$
• D． 4，2

Answer 1

分析 由椭圆的定义可得P的轨迹为以A，B为焦点（设在x轴上），长轴长为6的椭圆，求得a，b，c，即可得到椭圆方程，再由两点的距离公式，结合二次函数的最值及椭圆的范围，可得最值．

解答 解：以M为直角坐标原点，
由|PA|+|PB|=6＞|AB|=2$\sqrt{5}$，
由椭圆的定义，可得P的轨迹为以A，B为焦点（设在x轴上），
长轴长为6的椭圆，
即有a=3，c=$\sqrt{5}$，b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=2，
即有椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1，
则|PM|=$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$=$\sqrt{9（1-\frac{{y}^{2}}{4}）+{y}^{2}}$=$\sqrt{9-\frac{5}{4}{y}^{2}}$，
由-2≤y≤2可得y=0时，取得最大值3，y=±2时，取得最小值2．
故选：B．

点评 本题考查椭圆的定义、方程和性质，主要考查椭圆方程的运用和范围的运用，以及运算能力，属于中档题．