Question

16．求适合下列条件的椭圆的标准方程．
（1）两个焦点的坐标分别是（-4，0），（4，0），椭圆上任意一点P到两焦点的距离之和等于10；
（2）经过点P（-2$\sqrt{3}$，1），Q（$\sqrt{3}$，-2）．

Answer 1

分析 （1）由椭圆的两个焦点的坐标分别是（-4，0），（4，0），椭圆上任意一点P到两焦点的距离之和等于10，利用椭圆性质列出方程组，求出a，b，由此能求出椭圆方程．
（2）设椭圆方程为mx²+ny²=1，（m＞0，n＞0，m≠n），利用待定系数法能求出椭圆的标准方程．

解答 解：（1）∵椭圆的两个焦点的坐标分别是（-4，0），（4，0），
椭圆上任意一点P到两焦点的距离之和等于10，
∴椭圆的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，（a＞b＞0），
且$\left\{\begin{array}{l}{2a=10}\\{c=4}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a=5，c=4，b=3，
∴椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{9}$=1．
（2）∵椭圆经过点P（-2$\sqrt{3}$，1），Q（$\sqrt{3}$，-2），
∴设椭圆方程为mx²+ny²=1，（m＞0，n＞0，m≠n），
则$\left\{\begin{array}{l}{12m+n=1}\\{3m+4n=1}\end{array}\right.$，解得m=$\frac{1}{15}$，n=$\frac{1}{5}$，
∴椭圆的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{15}+\frac{{y}^{2}}{5}$=1．

点评 本题考查椭圆方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意椭圆性质、待定系数法的合理运用．