Question

8．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c．
（1）D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD是△ADC面积的2倍，AD=1，CD=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，求b边的值；
（2）若a+b+c=8，若sinCcos²$\frac{B}{2}$+sinBcos²$\frac{C}{2}$=2sinA，△ABC的面积S=$\frac{9}{2}$sinA，求边c的值．

Answer 1

分析 （1）根据面积比得出c=2b，在△ABD和△ACD中利用正弦定理得出BD=2CD，再利用余弦定理列方程解出b；
（2）利用二倍角公式化简再根据正弦定理得出b+c=3a，结合周长得出b+c=6，根据面积公式得出bc=9，解方程组得出c．

解答 解：（1）∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD．
∵S_△ABD=2S_△ACD，
∴$\frac{1}{2}AB•AD•sin∠BAD$=2$•\frac{1}{2}AC•AD•sin∠CAD$，
∴AB=2AC，即c=2b．
在△ACD中，由正弦定理得$\frac{b}{sin∠ADC}=\frac{CD}{sin∠CAD}$，
在△ABD中，由正弦定理得$\frac{c}{sin∠ADB}=\frac{BD}{sin∠BAD}$，
∵∠ADC+∠ADB=π，c=2b，∠CAD=∠BAD，
∴BD=2CD=$\sqrt{2}$．
分别在△ABD和△ACD中使用余弦定理得cos∠BAD=$\frac{A{D}^{2}+A{B}^{2}-B{D}^{2}}{2AD•AB}$=$\frac{4{b}^{2}+1-2}{4b}$．
cos∠CAD=$\frac{A{D}^{2}+A{C}^{2}-C{D}^{2}}{2AD•AC}$=$\frac{1+{b}^{2}-\frac{1}{2}}{2b}$，
∴4b²-1=2b²+1，解得b=1．
（2）∵sinCcos²$\frac{B}{2}$+sinBcos²$\frac{C}{2}$=2sinA，∴sinC$•\frac{1+cosB}{2}$+sinB$•\frac{1+cosC}{2}$=2sinA，
即sinB+sinC+sin（B+C）=4sinA，∴sinB+sinC=3sinA．
∴b+c=3a．
又∵a+b+c=8，∴b+c=6．
∵S=$\frac{1}{2}bcsinA$=$\frac{9}{2}$sinA，∴bc=9．
∴b=c=3．

点评 本题考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式，属于中档题．