Question

【题目】在数列{an}中，a1＝，其前n项和为Sn，且Sn＝an＋1－ (n∈N*)．

(1)求an，Sn；

(2)设bn＝log2(2Sn＋1)－2，数列{cn}满足cn·bn＋3·bn＋4＝1＋(n＋1)(n＋2)·2bn，数列{cn}的前n项和为Tn，求使4Tn>2n＋1－成立的最小正整数n的值．

Answer 1

【答案】(1) ；(2)2015.

【解析】试题分析：

(1)由题意结合通径公式与前n项和之间的关系可得数列的通项公式为利用Sn＝an＋1－有：

(2)结合(1)中的结论有： ，据此分组求和结合裂项求和可得,据此可得关于的不等式： ，求解不等式可得满足题意的最小正整数n的值为2 015.

试题解析：

(1)由Sn＝an＋1－，得Sn－1＝an－(n≥2)，

两式作差得an＝an＋1－an，即2an＝an＋1(n≥2)，∴＝2(n≥2)，

由a1＝S1＝a2－＝，得a2＝1，∴＝2，

∴数列{an}是首项为，公比为2的等比数列．

则an＝·2n－1＝2n－2，Sn＝an＋1－＝2n－1－.

(2)bn＝log2(2Sn＋1)－2＝log22n－2＝n－2，

∴cn·bn＋3·bn＋4＝1＋(n＋1)(n＋2)·2bn，

即cn(n＋1)(n＋2)＝1＋(n＋1)(n＋2)·2n－2，

∴cn＝＋2n－2

＝－＋2n－2，

∴Tn＝(－)＋(－)＋…＋(－)

＋(2－1＋20＋…＋2n－2)

＝－＋

＝－－＋2n－1

＝2n－1－.

由4Tn>2n＋1－，

得4(2n－1－)>2n＋1－.

即<，n>2 014.

∴使4Tn>2n＋1－成立的最小正整数n的值为2 015.