Question

已知函数f(x)＝ax－bxln x，其图象经过点(1,1)，且在点(e，f(e))处的切线斜率为3.(e为自然对数的底数)．

(1)求实数a、b的值；

(2)若k∈Z，且k<对任意x>1恒成立，求k的最大值；

(3)证明：2ln 2＋3ln 3＋…＋nln n>(n－1)2(n∈N*，n>1)．

Answer 1

【解】　(1)因为f(1)＝1，所以a＝1，

此时f(x)＝x－bxln x，f′(x)＝1－b(1＋ln x)，

依题意，f′(e)＝1－b(1＋ln e)＝3，所以b＝－1.

(2)由(1)知：f(x)＝x＋xln x，

当x>1时，

设h(x)＝x－2－ln x，则h′(x)＝1－>0，h(x)在(1，＋∞)上是增函数．

因为h(3)＝1－ln 3<0，h(4)＝2－ln 4>0，

所以，存在x0∈(3,4)，使h(x0)＝0.

当x∈(1，x0)时，h(x)<0，g′(x)<0，即g(x)在(1，x0)上为减函数；

同理g(x)在(x0，＋∞)上为增函数，从而g(x)的最小值为g(x0)＝，

所以x0∈(3,4)，k的最大值为3.

(3)证明　由(2)知，当x>1时，>3，

所以f(x)>3x－3，即x＋xln x>3x－3，xln x>2x－3，

所以2ln 2＋3ln 3＋…＋nln n>(2×2－3)＋(2×3－3)＋…＋(2n－3)＝2(2＋3＋…＋n)－3(n－1)＝2×－3n＋3＝n2－2n＋1＝(n－1)2(n∈N*，n>1)．