Question

13．直角坐标系中，已知动点P（x，y）到定点F（0，2）的距离与它到y=-1距离之差为1，
（1）求点P的轨迹C
（2）点A（3，1），P在曲线C上，求|PA|+|PF|的最小值，并求此时点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）设P（x，y），由两点间距离公式和点到直线的距离公式列出方程，由此能求出曲线C的方程；
（2）要使|PA|+|PF|的值最小，则三点P，A，F三点共线，此时点P为直线AF与抛物线的交点即可

解答 解：（1）（1）设P（x，y），
∵动点P（x，y）到定点F（0，2）的距离与它到y=-1距离之差为1，
∴$\sqrt{{x}^{2}+（y-2）^{2}}=y+2$，整理得x²=8y
∴点P的轨迹C是以原点为顶点，对称轴为y轴的抛物线．
（2）如图，要使|PA|+|PF|的值最小，则三点P，A，F三点共线，
此时点P为直线AF与抛物线的交点．
直线AF方程：x+3y-6=0
由$\left\{\begin{array}{l}{x+3y-6=0}\\{{x}^{2}=8y}\end{array}\right.$得P（$\frac{4\sqrt{10}-4}{3}$，$\frac{-4\sqrt{10}+22}{9}$）
|PA|+|PF|的最小值为$\sqrt{（3-0）^{2}+（1-2）^{2}}=\sqrt{10}$．

点评 本题考查了动点的轨迹问题，要使|PA|+|PF|的值最小，则三点P，A，F三点共线是关键，考查转化思想的灵活应用，属于中档题．