Question

3．设S_n为数列{a_n}的前n项和，S_n=2n²+5n．
（1）求证：数列{3${\;}^{{a}_{n}}$}为等比数列；
（2）设b_n=2S_n-3n，求数列{$\frac{n}{{a}_{n}{b}_{n}}$}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用${a}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{{S}_{1}，n=1}\\{{S}_{n}-{S}_{n-1}，n≥2}\end{array}\right.$，求出a_n=4n+3，从而${3}^{{a}_{n}}$=3⁴ⁿ⁺³，由此能证明数列{3${\;}^{{a}_{n}}$}为等比数列．
（2）求出b_n=4n²+7n，从而$\frac{n}{{a}_{n}{b}_{n}}$=$\frac{n}{（4n+3）（4{n}^{2}+7n）}$=$\frac{1}{（4n+3）（4n+7）}$=$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{4n+3}-\frac{1}{4n+7}$），由此利用裂项求和法能求出数列{$\frac{n}{{a}_{n}{b}_{n}}$}的前n项和．

解答 证明：（1）∵S_n为数列{a_n}的前n项和，S_n=2n²+5n，
∴${a}_{1}={S}_{1}=2×{1}^{2}+5×1$=7，
a_n=S_n-S_n-1=（2n²+5n）-[2（n-1）²+5（n-1）]=4n+3，
当n=1时，4n+3=7=a₁，
∴a_n=4n+3，
∴${3}^{{a}_{n}}$=3⁴ⁿ⁺³，
∴$\frac{{3}^{{a}_{n}}}{{3}^{{a}_{n-1}}}$=$\frac{{3}^{4n+3}}{{3}^{4n-1}}$=3⁴=81，
∴数列{3${\;}^{{a}_{n}}$}为等比数列．
解：（2）b_n=2S_n-3n=4n²+10n-3n=4n²+7n，
∴$\frac{n}{{a}_{n}{b}_{n}}$=$\frac{n}{（4n+3）（4{n}^{2}+7n）}$=$\frac{1}{（4n+3）（4n+7）}$=$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{4n+3}-\frac{1}{4n+7}$），
∴数列{$\frac{n}{{a}_{n}{b}_{n}}$}的前n项和：
T_n=$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{7}-\frac{1}{11}+\frac{1}{11}-\frac{1}{15}+…+\frac{1}{4n+3}-\frac{1}{4n+7}$）
=$\frac{1}{4}（\frac{1}{7}-\frac{1}{4n+7}）$．

点评 本题考查等比数列证明，考查数列的前n项和的求法，考查等比数列、等差数列等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．