Question

11．已知复数（a²-1）+（a+1）i（其中a∈R，i为虚数单位）是纯虚数．
（1）求实数a的值；
（2）若复数z=$\frac{a+\sqrt{3}i}{ai}$，求|z|．

Answer 1

分析 （1）由复数（a²-1）+（a+1）i（其中a∈R，i为虚数单位）是纯虚数，得实部等于0且虚部不等于0，求解即可得答案；
（2）把a=1代入z=$\frac{a+\sqrt{3}i}{ai}$，再由复数代数形式的乘除运算化简，然后由复数求模公式计算得答案．

解答 解：（1）由复数（a²-1）+（a+1）i（其中a∈R，i为虚数单位）是纯虚数，
得$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}-1=0}\\{a+1≠0}\end{array}\right.$，即a=1．
∴实数a的值是1；
（2）z=$\frac{a+\sqrt{3}i}{ai}$=$\frac{1+\sqrt{3}i}{i}=\frac{-i（1+\sqrt{3}i）}{-{i}^{2}}=\sqrt{3}-i$，
则|z|=$\sqrt{（\sqrt{3}）^{2}+（-1）^{2}}=\sqrt{3+1}=2$．

点评 本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题．