Question

如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，线段B₁D₁上有两个动点E，F，且EF=

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，现有下列结论：
①AC⊥BE；
②平面AEF与平面ABCD的交线平行于直线EF；
③异面直线AE，BF所成的角为定值；
④三棱锥A-BEF的体积为定值，其中错误结论的个数是（　　）

• A、0个
• B、1个
• C、2个
• D、3个

Answer 1

考点：棱柱的结构特征

专题：空间位置关系与距离

分析：①AC⊥BE，可由线面垂直证两线垂直；
②由面面平行的定义可证得平面AEF与平面ABCD的交线平行于直线EF；
③异面直线AE、BF所成的角为定值，可由两个极好位置说明两异面直线所成的角不是定值．
④三棱锥A-BEF的体积为定值，可证明棱锥的高与底面积都是定值得出体积为定值；

解答： 解：①AC⊥BE，由题意及图形知，AC⊥面DD₁B₁B，故可得出AC⊥BE，此命题正确；
②平面A₁B₁C₁D₁∥平面ABCD，设平面AEF∩平面ABCD=l，平面AEF∩A₁B₁C₁D₁=EF，故l∥EF，此命题正确；
③异面直线AE、BF所成的角为定值，由图知，当F与B1重合时，令上底面顶点为O，则此时两异面直线所成的角是∠A₁AO，当E与D₁重合时，此时点F与O重合，则两异面直线所成的角是OBC1，此二角不相等，故异面直线AE、BF所成的角不为定值．
④三棱锥A-BEF的体积为定值，由几何体的性质及图形知，三角形BEF的面积是定值，A点到面DD₁B₁B距离是定值，故可得三棱锥A-BEF的体积为定值，此命题正确；
综上知③错误，
故错误结论的个数是1个，
故选：B

点评：本题考查棱柱的结构特征，解答本题关键是正确理解正方体的几何性质，且能根据这些几何特征，对其中的点线面和位置关系作出正确判断．熟练掌握线面平行的判断方法，异面直线所成角的定义以及线面垂直的证明是解答本题的知识保证．