Question

PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称可入肺颗粒物，2012年3月2日，国家环保部发布了新修订的《环境质量标准》，其中规定：居民区中的PM2.5年平均浓度不得超过35微克/立方米，PM2.5的24小时平均浓度不得超过75微克/立方米．某城市环保部门随机抽取了一居民区去年40天的PM2.5的24小时平均浓度的监测数据，数据统计如下：

组别	PM2.5（微克/立方米）	频数（天）	频率
第一组	（0，15]	4	0.1
第二组	（15，30]	12	0.3
第三组	（30，45]	8	0.2
第四组	（45，60]	8	0.2
第五组	（60，75]	4	0.1
第六组	（75，90]	4	0.1

（Ⅰ）求该样本的平均数的估计值，并根据样本估计总体的思想，从PM2.5的年平均浓度考虑，判断该居民区的环境是否需要改进，并说明理由；
（Ⅱ）从这40天中，随机抽取2天，记这2天中该居民区PM2.5的24小时平均浓度符合《环境空气质量标》的天数为ξ，求ξ的分布列及数学期望E（ξ）．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,频率分布直方图,古典概型及其概率计算公式

专题：计算题,概率与统计

分析：（Ⅰ）先求出去年该居民区PM2.5年平均浓度为40.5（微克/立方米）．因为40.5＞35，所以该居民区的环境需要改进．
（Ⅱ）记事件A表示“一天PM2.5的24小时平均浓度符合环境空气质量标准”，则P（A）=0.9．随机变量ξ的可能取值为0，1，2．且ξ～B（2，0.9）．此能求出变量ξ的分布列和数学期望Eξ．

解答： 解：（Ⅰ）去年该居民区PM2.5年平均浓度为7.5×0.1+22.5×0.3+37.5×0.2+52.5×0.2+67.5×0.1+82.5×0.1=40.5（微克/立方米）．
因为40.5＞35，所以去年该居民区PM2.5年平均浓度不符合环境空气质量标准，
故该居民区的环境需要改进；
（Ⅱ）记事件A表示“一天PM2.5的24小时平均浓度符合环境空气质量标准”，则P（A）=0.9
随机变量ξ的可能取值为0，1，2．且ξ～B（2，0.9）．
所以P（ξ=k）=

C

k 2

•0．9k•0．12-k（k=0，1，2）
所以变量ξ的分布列为

ξ	0	1	2
p	0.01	0.18	0.81

Eξ=0×0.01+1×0.18+2×0.81=1.8．

点评：本小题主要考查频率分布直方表、随机变量的分布列、数学期望等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力以及应用用意识，考查必然与或然思想等．